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        高中数学-圆锥曲线常用的二级结论.doc

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        圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论椭圆双曲线标准方程焦点焦点焦半径为离心率,为点的横坐标.为离心率,为点的横坐标.焦半径范围为椭圆上一点,为焦点.为双曲线上一点,为焦点.通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.通径长为过焦点与实轴垂直的弦称为通径.通径长为如图,直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为.(即)如图,直线过焦点与双曲线相交于两点.则.焦点弦倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点.焦点弦长.最长焦点弦为长轴,最短焦点弦为通径.倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点.焦点弦长.与数量关系直线过焦点与椭圆相交于两点,则.直线过焦点与双曲线相交于两点,则.已知点是椭圆上一点,坐标原点,则.已知点是双曲线上一点,坐标原点,则.焦三角形如图,是椭圆上异于长轴端点的一点,已知,,,则(1);(2)离心率.如图,是双曲线上异于实轴端点的一点,已知,,,则(1);(2)离心率.垂径定理如图,已知直线与椭圆相交于两点,点为的中点,为原点,则.如图,已知直线与双曲线相交于两点,点为的中点,为原点,则.(注:直线与双曲线的渐近线相交于两点,其他条件不变,结论依然成立)周角定理如图,已知点椭圆长轴端点(短轴端点),是椭圆上异于的一点,则.推广:如图,已知点是椭圆上关于原点对称的两点,是椭圆上异于的一点,若直线的斜率存在且不为零,如图,已知点双曲线实轴端点,是双曲线上异于的一点,则.推广:如图,已知点是双曲线上关于原点对称的两点,是双曲线上异于的一点,若直线的斜率存在且不为零,.直线过焦点与椭圆相交于两点,点,则(即).直线过焦点与双曲线相交于两点,点,则(即).切线方程已知点是椭圆上一点,则椭圆在点处的切线方程为.已知点是双曲线上一点,则双曲线在点处的切线方程为.双曲线的结论1.过定点(定点在双曲线外且不在渐近线上)的直线与双曲线交点个数问题:设斜率为的直线过定点,双曲线方程为,过点与双曲线相切时的斜率为.(1)当时,直线与双曲线有两个交点,且这两交点在双曲线的两支上;(2)当时,直线与双曲线只有一个交点;(3)当时,直线与双曲线有两个交点,且这两交点在双曲线的同一支上;(4)当时,直线与双曲线只有一个交点;(5)当时,直线与双曲线没有交点.2.如图,是双曲线的焦点,过点作垂直双曲线的其中一条渐近线,垂足为,为原点,则.3.点是双曲线上任意一点,则点到双曲线的渐近线的距离之积为定值.4.点是双曲线上任意一点,过点作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于两点,为原点,则平行四边形的面积为定值.抛物线的结论如图,抛物线方程为,准线与轴相交于点,过焦点的直线与抛物线相交于,两点,为原点,直线的倾斜角为.1.2.焦半径:,,.3.焦点弦:.4.的数量关系:,.5.三角形的面积.6.以焦点弦为直径的圆与准线相切;以焦半径为直径的圆与轴相切.7.直线的斜率之和为零(),即.8.点三点共线;点三点共线.9.如图,点是抛物线,为原点,若,则直线过定点.

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